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全体像・読み進め方を確認する
「同時に起きない」と「片方を知っても確率が変わらない」は別の条件です。100人の四領域表とサイコロの独自ケースで、足す・掛ける判断を図解します。
この記事を読む3ステップ
最初に全体像をつかみ、必要なところから読めます。
独立は確率の関係、排反は重なりの有無
排反とは、同じ試行でAとBが同時に起きないことです。独立とは、P(AかつB)＝P(A)P(B)が成り立つことです。P(B)が正なら、Bを知ってもAの確率が変わらないと説明できます。二つは別の分類軸であり、「別の名前の事象だから独立」とは決められません。
本記事は条件付き確率の分母変更をもう一度説明するページではありません。条件付き確率を理解した後、乗法を使ってよい前提を検査する練習です。以下の人数は実在の調査ではなく、各人を等確率で一人選ぶ独自の有限モデルです。
独自ケース：Aに40人、Bに50人、両方に20人
100人を、研修Aだけ20人、研修Bだけ30人、両方20人、どちらも受けていない30人へ分けます。Aは40人、Bは50人です。両方受けた人がいるため排反ではありません。全員から一人を等確率で選ぶと、P(A)＝0.4、P(B)＝0.5、P(AかつB)＝0.2です。
20人
20人
30人
30人
- A＝40人 ／ B＝50人重なり20人 → 排反ではない
- P(A)×P(B)＝0.4×0.5＝0.2P(AかつB)＝20÷100＝0.2 → このモデルでは独立
独自の有限モデル。100人から一人を等確率で選びます。実在の調査結果や因果関係ではありません。
0.4×0.5＝0.2と一致するので、この選択モデルでは独立です。Bの50人だけに範囲を変えてもAは20÷50＝0.4。Aを知った場合のBも20÷40＝0.5です。重なりがあるのに独立、という状態を表の行・列から確かめられます。
両方が10人へ変わると、同じ周辺人数でも独立ではない
Aの合計40人、Bの合計50人を保ち、両方を10人へ変えます。Aだけ30人、Bだけ40人、どちらもない20人なら合計100人です。P(AかつB)＝0.1は0.4×0.5＝0.2と違うため、独立ではありません。AとBの合計だけを知っても、重なりは確定しないことが分かります。
この表ではP(A|B)＝10÷50＝0.2で、全体の0.4より低くなります。ただし確率の関係だけから、Bの研修がAの受講を減らしたなどの原因までは分かりません。同じ対象と期間を保ち、「関係がある」と「因果効果がある」を別々に記録します。
サイコロ一回では、別の目は排反で独立ではない
公平な六面サイコロ一回の結果を考えます。Aを1の目、Bを2の目とすれば両方同時に出ることはないため、P(AかつB)＝0で排反です。しかしP(A)P(B)＝1/36なので独立ではありません。1だと分かれば2である確率は0となり、元の1/6から変わります。
- A：1が出る ／ B：2が出る一度の公平なサイコロでは両方にならない
- 重なりは0 → 排反P(AかつB)＝0
- 独立の条件なら1/6×1/6＝1/360と一致しない → 独立ではない
「別々に二回振る」モデルとは区別します。いずれも正の確率の事象です。
P(A)もP(B)も正のとき、排反と独立は両立しません。確率0の事象を含む例外もあるので、「どんな事象でも絶対に両立しない」という言い方は避けます。まず、定義として重なり0か、積と一致するかを別々に確かめてください。
「または」は足す前に重なりを引く
最初の100人の例で、AまたはBの研修を受けた人は40＋50−20＝70人です。合計90人では、両方の20人を二度数えています。P(AまたはB)＝P(A)＋P(B)−P(AかつB)は一般に使え、排反なら最後の項が0になります。
独立の場合も、重なりを引く操作は必要です。「独立だから足してよい」のではなく、独立なら重なりを積で計算できる、という順序です。集合の四領域とまたは・どちらか一方では人数と条件の整理を学び、本記事では確率の前提を確認します。
二回の試行でも、独立性を問題文から確かめる
二回の公平なサイコロを独立に振ると明示した場合、初回が1、二回目が2となる確率は1/6×1/6＝1/36です。これは一回のサイコロに対する1と2の排反とは、事象の設定が違います。試行の回数・事象の対象を変えたまま同じ説明を使わないことが重要です。
袋から戻さずに二つ取り出す場合は、一回目の結果で袋の中身が変わります。同じ1/6を二回掛ける根拠はありません。一回ごとの条件付き確率をつなぐ方法と、独立だから同じ周辺確率を掛ける方法を分けると、式を暗記するだけの誤りを減らせます。
「どちらでもない」から重なりを逆算する
100人中、A40人・B50人・どちらでもない30人だけが分かっているとします。少なくとも一方は100−30＝70人なので、両方は40＋50−70＝20人です。重なりが直接書かれていなくても、四領域の合計から求められます。そこから積0.4×0.5と一致するかを確認し、独立性を判定します。
逆に「どちらでもない」が20人なら少なくとも一方80人、両方10人になります。四領域を一つずつ補うと、既知の周辺人数が同じでも結論が変わる理由を説明できます。どちらでもないの数が不足している場合、独立と勝手に仮定して20人を埋めないでください。独立が明示された場合と、独立性を判定する場合では、使える条件が違います。
復習の型：表、定義、計算、主張の範囲をそろえる
ノートへ四領域と全体数を書き、A・B・両方の割合を出します。次に「両方0か」「積と一致するか」を二行で確認します。最後に、求めるものが両方か、少なくとも一方か、条件付きかを書いて式を選びます。同じ表から複数の確率を求めると、式の使い分けを検算できます。
表の条件を変えても合計100人や非負の人数が保たれるか確認してください。実測比率が偶然一致したから母集団の独立性を証明できた、とは言えません。有限表から一人選ぶ数学上の独立と、将来の行動や母集団についての統計的判断は別です。公式の出題頻度を主張する練習ではありません。
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この記事の図・数値・ケースは編集部独自の学習用です。公式問題や過去問の再現ではなく、出題頻度や合格を保証しません。当サイトは非公式の対策サービスです。
確認資料：OpenStax：独立と排反（2026年10月11日確認）。図解と練習例は当編集部が別途作成しています。
確認資料：OpenStax：確率の加法・乗法（2026年10月11日確認）。図解と練習例は当編集部が別途作成しています。
所属人数を三条件へ拡張する場合も、独立と勝手に仮定しません。三集合の包含排除と非負条件では、与えられた重なりから人数を復元します。
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