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「少なくとも一回」の反対は「一回もない」です。赤2個・青3個の袋から二回選ぶ独自ケースで、戻す抽出と戻さない抽出の分母を比較します。
この記事を読む3ステップ
最初に全体像をつかみ、必要なところから読めます。
「少なくとも一回」の反対を、漏れなく書く
二回のうち少なくとも一回が赤なら、赤赤・赤青・青赤の三通りを含みます。その反対は青青だけです。余事象は、元の事象と重ならず、二つを合わせると全結果を覆う事象。したがって求める確率は1−P(青青)となります。
「少なくとも一回」の反対を「赤が一回だけ」と書くと、二回とも赤の結果が漏れます。本記事は独立と排反の定義とは分け、数える対象を補集合へ置き換える手順を扱います。確率を掛ける段階では、抽出条件を別に確認します。
1から引く式の1は、全結果の確率です。百分率で計算するなら100%から引き、割合なら1から引きます。9/25を36%へ直した後に「1−36」とすると単位が混ざります。式から答えまで同じ表記で揃え、最後に必要な単位へ変換してください。
独自ケース：赤2個・青3個、毎回戻して二回引く
袋の五つの球は一回ごとに等確率で選ばれ、選んだ球を戻して十分に混ぜ、二回の抽出は独立とします。青が出る確率はどちらも3/5なので、青青は3/5×3/5＝9/25。少なくとも一回赤は1−9/25＝16/25＝64%です。
- 赤2個・青3個 → 一回目を戻す二回とも赤2/5、青3/5。独立な抽出
- 青 → 青：3/5×3/5＝9/25一度も赤が出ない経路
- その他の経路：赤赤・赤青・青赤4/25＋6/25＋6/25＝16/25＝64%
全経路の確率は25/25。「ちょうど一回」は赤青と青赤だけで12/25です。
「戻す」と書くだけで現実の混ぜ方まで完全だとは限りません。この例は等確率・独立を明示した数学モデルです。分母25は球の識別も含めた、二回の順序付きの結果数に対応します。色の四パターンをすべて同確率と考え、三つあるから3/4とするのは誤りです。
三経路を直接足すと、余事象の式を検算できる
赤赤は2/5×2/5＝4/25、赤青は2/5×3/5＝6/25、青赤は3/5×2/5＝6/25。互いに重ならない三つの経路なので、合計16/25です。青青9/25と合わせると25/25へ戻り、漏れ・重複がないことを確認できます。
赤がちょうど一回なら赤青と青赤だけで12/25＝48%です。両方赤4/25を含む少なくとも一回とは16ポイント違います。設問の一語を読み替えるだけで数値が変わるため、計算の前に含める経路を言葉で残してください。
戻さずに二回引くと、二回目の袋が変わる
最初に青を引く確率は3/5ですが、戻さなければ残りは赤2個・青2個。青を引いた条件の下で二回目も青の確率は2/4です。青青は3/5×2/4＝3/10。少なくとも一回赤は1−3/10＝7/10＝70%となります。
- 一回目が青：3/5残りは赤2個・青2個、合計4個
- 青 → 青：3/5×2/4＝3/10二回目の青は3/5ではない
- 少なくとも赤一回：1−3/10＝7/10赤赤1/10＋赤青3/10＋青赤3/10＝7/10
同じ5個の独自ケース。抽出後に戻すかどうかで計算条件が変わります。
64%と70%の違いは、丸めや計算法の違いではなくモデルの違いです。青を一つ除くと次に赤を引く割合が増えます。戻さないのに3/5を二回掛けると、残った球の構成を無視した値になります。人数を選ぶ場合も、同じ人を再び選べるかを確認します。
戻さない場合も、ちょうど一回と二回を分ける
赤青は2/5×3/4＝3/10、青赤も3/5×2/4＝3/10なので、ちょうど一回赤は6/10です。赤赤は2/5×1/4＝1/10。合計7/10で余事象の結果と一致します。全五個から二個の組を選ぶなら10組、そのうち青だけは3組という別の数え方でも検算できます。
順序付きの経路と順序なしの組合せは、分母も変えた上で使います。分子だけを二倍にして分母を据え置くと確率が大きくなりすぎます。場合の数では数え方の整理を学び、本記事では同じモデルの答えへ戻るかを確かめます。
試行が増えたとき、指数を使える条件を残す
独立で各回の赤確率pが同じなら、n回で少なくとも一回赤は1−(1−p)ⁿです。今回の戻すモデルを三回にすると1−(3/5)³＝98/125＝78.4%。二回の64%より大きいですが、何回行っても有限回で必ず赤になるわけではありません。
回ごとに赤の確率が変わるなら、同じ指数は使えません。戻さない五球をすべて引けば、赤は必ず含まれるため確率1となります。モデルの違う計算を同じ公式でまとめず、「独立」「各回同率」「戻す」のどれを仮定したかを式の横へ記録します。
「二回とも赤ではない」は、少なくとも赤一回と違う
戻すモデルでは「二回とも赤ではない」は、赤赤の否定です。青青・赤青・青赤を含み、確率は1−4/25＝21/25＝84%。一方、「二回とも赤でない球」は二つとも青と解釈したなら9/25です。自然文の否定位置を曖昧にしたまま、公式を適用しないでください。
計算の前に色の二文字を書き、含む経路へ丸を付けると誤読を検出できます。「少なくとも赤一回」は青青だけを外し、「赤は多くても一回」は赤赤だけを外します。両者には赤青・青赤が共通していても、同じ事象ではありません。どちらも補集合を使えますが、引く相手が違うので確率も異なります。数値が近いかどうかではなく、全結果を漏れなく分割したかで検算します。
日常の報告へ広げる前に、観測条件を確認する
一度でも故障した機器の割合と、故障した回数の割合は分母が違います。また日々の故障が独立・同率であるとは限らず、利用時間や設備状態の影響があり得ます。袋の計算から実際の品質や安全性を予測する記事ではありません。式が簡単でも、前提の確認を省かないようにします。
復習では、赤を一個増やす、二回を三回へ変える、戻す条件を外す、を一つずつ試してください。求めた確率が0〜1に入り、直接の経路計算と一致するか確かめます。独立と排反、論理否定へ進むと、反対の範囲と計算条件を別々に説明できます。
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この記事の図・数値・ケースは編集部独自の学習用です。公式問題や過去問の再現ではなく、出題頻度や合格を保証しません。当サイトは非公式の対策サービスです。
確認資料：OpenStax：確率の加法・乗法（2026年10月11日確認）。図解と練習例は当編集部が別途作成しています。
少なくとも一回だけでなく、回数ごとの分布も知りたい場合は二項分布で「ちょうどk回」を求める方法へ進めます。独立・同率・固定回数という前提は維持します。
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