式より先に、一つの結果をどう数えるか決める
同じ三人を違う順番で挙げても、メンバーだけを選ぶなら同じ一組です。一方、代表者と副代表を決めるなら、人の役割が変われば別の結果になります。まず『何が違えば別の一通りか』を問題文で固定します。
順番を区別しないn人からr人の選択をC(n,r)と書くと、C(n,r)＝n!÷{r!(n−r)!}です。nとrは整数で0≦r≦n。n!は1からnまでの積で、0!は1とします。同じ人を重複して選ばない場合の式で、同じ人の兼任や同じ種類を何個も選ぶ条件へそのまま使いません。
式の一般原理はOpenStaxのCounting Principlesで確認しました。以下の人員・条件・計算・図は独自です。少数なら候補を書き出し、同じものを二回数えていないか確認できます。
独自例題：両部門から選び、特定の二人は同席させない
技術担当A・B・C・Dの4人と、運用担当E・F・Gの3人がいる。この7人から異なる3人を選び、役割や順番は決めない。技術と運用を少なくとも1人ずつ含める。ただしAとBを同時に選ぶことはできない。他の組合せに制約はない。この条件を満たすメンバーの選び方は何通りか。
| 区分 | 候補 |
|---|---|
| 技術4人 | A・B・C・D |
| 運用3人 | E・F・G |
| 全体条件 | 異なる3人、両部門を含む、AとBの同時選択は不可 |
- A：12通り
- B：15通り
- C：30通り
- D：27通り
解説：人数構成で分けると、重なりがない
正解はDです。3人で両部門を含むので、技術1人＋運用2人、技術2人＋運用1人の二つだけです。この分け方なら一組が両方の枝へ入ることはなく、漏れもありません。
技術A〜D、運用E〜Gから3人。両部門を含み、AとBは同時に選ばない。枠の面積は通り数の比を表しません。
技術1人＋運用2人
技術：A・B・C・D
4通り
運用：EF・EG・FG
3通り
4×3＝12通り
技術1人なので、AとBの同時選択はない
技術2人＋運用1人
技術：AC・AD・BC・BD・CD
ABを除き5通り
運用：E・F・G
3通り
5×3＝15通り
二つの枝に同じ組は入らない
12＋15＝27通り
役割を決めないので、同じメンバーの並び替えは数えません。技術1/2人以外は、3人で両部門を含む条件を満たしません。
技術1人の場合は4通り、運用2人はEF・EG・FGの3通りで4×3＝12通り。技術を一人しか選ばないのでAとBの同時選択は起きません。
技術2人の場合はAB・AC・AD・BC・BD・CDの6組からABを除いて5組。運用1人は3通りなので5×3＝15通り。最後に、重ならない12と15を足して27通りです。
| 選択肢 | 誤答または正答の理由 |
|---|---|
| A：12 | 技術1＋運用2の枝しか数えていない |
| B：15 | 技術2＋運用1の枝しか数えていない |
| C：30 | ABを除く前の12＋6×3で、ABE・ABF・ABGを含む |
| D：27 | 両部門を含む全ケースから同時選択不可の3組を除いている |
別解：全体から引くとき、除外同士の重なりに注意
全7人から3人を選ぶとC(7,3)＝35通り。まず技術だけのC(4,3)＝4組と、運用だけの1組を除くと30通り。ここに残るA・B同時選択はABE・ABF・ABGの3組なので、30−3＝27通りです。
35から技術だけ4、運用だけ1、A・Bを含むすべての5組をそのまま引くと25になります。ABCとABDは『技術だけ』で既に引いており、二重に引くためです。全体から除く方法でも、どの集合の重なりかを確認しましょう。
引き算の重複を整理する考え方は集合・重なりの四領域へ。条件を満たす選択肢を一つ見つける問題と、全候補を数える問題では、必要な確認の範囲が異なります。
応用：代表者を技術担当に限定すると何通りか
元の条件を満たす三人を選んだうえで、その中の技術担当1人を代表に決めます。同じメンバーでも代表が違えば別と数え、他の二人に役割は付けません。
技術1＋運用2の12組は、それぞれ代表候補1人で12通り。技術2＋運用1の15組は代表候補2人で30通り。合わせて12＋30＝42通りです。全部の27組へ一律に3を掛けた81通りは、運用担当を代表にする場合まで含みます。
別方向から確かめると、代表AならBを入れず、残る二人はC・D・E・F・Gから運用を含む二人で9通り。代表Bも9通り。代表Cなら残り6人の二人組15から技術だけの3組を除き12通りで、代表Dも12通り。9＋9＋12＋12＝42です。
人と役割を別の枠に整理したいときは人・日付・担当先の対応表へ。順序の制約を扱うなら配置と反例の練習も使えます。
数え方を確率に使うときは、抽選方法も必要
制約を課す前の35組がそれぞれ等確率で選ばれる、と別途仮定すれば、元の条件を満たす確率は27/35≒77.1%です。しかし『先に技術代表を選ぶ』等の別手順では、各組が同じ確率になるとは限りません。通り数だけから確率を決めないでください。
選ぶ範囲を条件で絞る場合は条件付き確率の分母も確認します。式を覚えた後は、役割の有無・重複の可否・少なくとも/ちょうど・除外の重なりを一つずつ変えて説明できるか試してください。
公式の測定範囲と、この記事の位置づけ
公式の受験科目案内では、CTは情報の理解や、条件を合わせて言えること・言えないことを整理する力等を扱います（2026年9月9日確認）。この記事はその練習のために当サイトが選んだテーマで、公式の詳細な出題頻度表や出題予告ではありません。
問題・数値・図は公式問題・過去問の転載や再現ではなく、当サイト独自の学習用です。グロービスの公式サービスではなく、本番との難易度一致、同じ問題の出題、公式スコアへの換算や合格を保証しません。
よくある質問
組合せと順列はどう区別しますか？
同じメンバーの順番や役割を変えて別の結果になるかで区別します。メンバーだけなら同じ一組、役割も決めるなら割当の違いを数えます。重複選択ができるかも確認してください。
全体から禁止ケースを引けば簡単ですか？
有効な方法ですが、禁止ケース同士が重なれば二重に引くことがあります。本例のABCとABDは『技術だけ』と『A・Bを含む』の両方なので、除外する順序や重なりを点検します。
場合の数はGMAP-CTで必ず出ますか？
この記事は条件整理のために当サイトが選んだ独自練習です。公式の出題頻度や必出を確認したという意味ではありません。指定された測定範囲と公式サンプルも確認してください。
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