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全体像・読み進め方を確認する
4回・各回25%の独自モデルで、0〜4回の確率を一覧化。「少なくとも」と「ちょうど」、期待回数と実現回数を区別し、組合せを掛ける理由を説明します。
この記事を読む3ステップ
最初に全体像をつかみ、必要なところから読めます。
二項分布を使う前に、四つの条件を読む
回数nが固定され、各回を二つの結果へ分けられ、各回の成功確率pが同じで、試行が独立である。この条件の下で、成功回数Xの分布を二項分布と呼びます。成功という名前は便宜的で、望ましい結果を意味する必要はありません。不良の発生を数える設定でも同じ構造です。
本記事は実際の製品の品質や試験の正答率を推定するものではありません。独自の抽選モデルで回数の確率を練習します。独立と排反では前提を確認し、余事象では一度以上の確率を扱います。ここでは、ちょうどk回を数えることに焦点を絞ります。
独自ケース：4回、各回の当たりが25%
各回の当たり確率は1/4、外れ確率は3/4。独立に4回行い、当たり回数Xを数えます。Xの値は0・1・2・3・4ですが、五つの値が等確率とは限りません。たとえば4回すべて当たりは(1/4)⁴＝1/256、すべて外れは(3/4)⁴＝81/256です。
独自モデル：固定4回、各回当たり1/4、独立。分数の合計は256/256。
棒は当たり回数ごとの確率で、縦軸の下端は0%。一番高い棒は1回ですが、1回しか起きないという意味ではありません。小数表示には丸めがあるため、合計の検算では表の分数を使います。数値の多さではなく、起こり得る結果がすべて含まれるかを見ます。
ちょうど2回は、一つの順序だけではない
当・当・外・外という一つの順序の確率は(1/4)²(3/4)²＝9/256です。しかし当たりの位置は四つから二つ選べるため6通りあります。当当外外、当外当外、当外外当、外当当外、外当外当、外外当当です。互いに別の順序なので、確率を足せます。
当当外外
当外当外
当外外当
外当当外
外当外当
外外当当
- 一経路の確率9/256(1/4)²×(3/4)²
- 六つは互いに異なる結果6×9/256＝54/256
当たり位置の組合せを列挙。すべて列挙した後に、さらに6を掛けないでください。
どの順序も当たり二回と外れ二回を含み、独立・同率の前提では同じ9/256。したがってちょうど2回は6×9/256＝54/256＝約21.094%です。順序が違う六つの経路を一つだけ数えると、六分の一の値にしてしまいます。逆に、すでに経路を全部列挙した後で再度6を掛けると二重計上です。
公式を三つの役割に分けて読む
P(X＝k)＝C(n,k)×pᵏ×(1−p)ⁿ⁻ᵏです。C(n,k)は成功位置の選び方、pᵏは指定された成功の確率、最後の項は残りの失敗の確率。C(4,2)＝4×3÷(2×1)＝6で、順序付きの並べ方4×3＝12とは違います。成功二つを入れ替えても同じ位置の組だからです。
| X | 経路数 | 確率（正確な分数） | 約% |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 81/256 | 31.641 |
| 1 | 4 | 108/256 | 42.188 |
| 2 | 6 | 54/256 | 21.094 |
| 3 | 4 | 12/256 | 4.688 |
| 4 | 1 | 1/256 | 0.391 |
表を1行ずつ読む
- X
- 0
- 経路数
- 1
- 確率（正確な分数）
- 81/256
- 約%
- 31.641
- X
- 1
- 経路数
- 4
- 確率（正確な分数）
- 108/256
- 約%
- 42.188
- X
- 2
- 経路数
- 6
- 確率（正確な分数）
- 54/256
- 約%
- 21.094
- X
- 3
- 経路数
- 4
- 確率（正確な分数）
- 12/256
- 約%
- 4.688
- X
- 4
- 経路数
- 1
- 確率（正確な分数）
- 1/256
- 約%
- 0.391
分子の合計は81＋108＋54＋12＋1＝256で、全確率1へ戻ります。kが0のときのp⁰は1と扱い、成功がない経路を省かないことも大切です。p＝0や1の端の設定では、その確実な結果へ全確率が集中するかを先に考えると式の扱いを確認できます。
「少なくとも」「多くても」は範囲へ直す
少なくとも1回はX≧1なので、1−81/256＝175/256＝約68.359%。ちょうど1回の108/256とは違います。少なくとも2回なら54＋12＋1を足して67/256＝約26.172%。多くても1回は0回と1回の合計189/256＝約73.828%です。
「2回を超える」は3回と4回で13/256。「2回以上」は2回も含むため67/256です。日本語を不等号と回数一覧の両方へ直し、含む棒に印を付けると境界の読み違いを防げます。補集合で計算しても、直接足しても同じ値へ戻るか確かめてください。
期待値1回は、実際に1回になる保証ではない
期待値はnp＝4×1/4＝1回です。分布表から0×81/256＋1×108/256＋2×54/256＋3×12/256＋4×1/256を計算しても1になります。一回の四試行では0回も2回もあり、期待値は一回ごとの確定結果ではありません。
分散はnp(1−p)＝0.75、標準偏差は約0.866回です。分散と標準偏差の平方根と単位の関係をここでも確認できます。期待値が整数だから「必ずその回数」、期待値が小数だから「半回の当たりが起きる」という解釈はしません。
戻さない抽出や、途中で止める条件では使わない
当たり1本・外れ3本の箱から、毎回戻さず4本引けば当たりは必ず1本です。同じ最初の1/4でも、二回目以降は箱の中身が変わり独立・同率ではありません。各回戻して独立に抽選するモデルと、結果の分布はまったく違います。
また、初めて当たった時点で止めるなら試行回数自体が変わります。日によって当たり確率が変わる、同じ機器の連続故障に依存がある、という状況も、同じpを指数で掛ける理由がありません。データが二種類だから二項分布、と決めず、どの前提が不足しているかを記録します。
二段階で確かめる：初回が当たりと分かった後
最初の一回が当たりだと分かり、残り三回だけを考えます。独立性が保たれるので、残りの各回の当たり確率は依然1/4です。四回全体でちょうど二回当たりになるには、残り三回でちょうど一回当たり。確率はC(3,1)×1/4×(3/4)²＝27/64＝42.1875%です。
これは条件が分からない状態でのちょうど二回54/256とは違います。「初回も含めて四回すべての結果を抽選する」場合と「初回が当たりのケースだけへ対象を絞る」場合を分けてください。残り三回の期待当たり回数は3/4で、全体の条件付き期待回数は1＋3/4＝1.75回。残り回数と観測済みの一回を混ぜず、確率の条件を式の横へ残すことが重要です。
条件を変えた練習：当たり確率が50%なら
4回・独立・各回50%へ変えると、0〜4回の確率は1・4・6・4・1を16で割った値です。ちょうど2回は6/16＝37.5%、期待値は2回、少なくとも1回は15/16＝93.75%。位置の選び方は同じでも、各順序の確率が変わることを確認できます。
復習ノートは「固定回数・独立・同率」「求めるkの範囲」「一経路の確率」「経路数」「全体の検算」の五行にします。4回25%の表を暗記するより、条件を一つ変えて自力で再計算する方が、別の設定へつなげられます。図の棒が高いことから、その結果を現実に保証する報告へ飛躍しないようにしてください。
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この記事の図・数値・ケースは編集部独自の学習用です。公式問題や過去問の再現ではなく、出題頻度や合格を保証しません。当サイトは非公式の対策サービスです。
確認資料：OpenStax：二項分布（2026年10月11日確認）。図解と練習例は当編集部が別途作成しています。
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