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全体像・読み進め方を確認する
平均で有利な案と、損失を避けたいときの案は一致するとは限りません。確率を重みとした計算、費用の扱い、情報を得る価値を独自例題で説明します。
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最初に全体像をつかみ、必要なところから読めます。
期待値は「起こりそうな一つの値」ではない
確率50%で利益10万円、50%で利益0円なら期待利益は5万円です。しかしこの二つの結果しか起きない設定なら、実際に5万円になることはありません。期待値は複数の可能性を一つの尺度で比較する計算であり、一回の予報とは区別します。
このページは数量判断の補助学習です。「期待値」が独立したGMAP-CT科目、または必ず出題される題材だと示すものではありません。表の重み、条件、判断基準を読む練習として利用してください。公式の測定領域はCT対策の総合ガイドから確認できます。
独自例題1：新しい受付方式を試すか
試行案Aは確率60%で差額利益8万円、40%で差額損失2万円になると仮定します。金額は必要な費用をすでに引いたものです。案Bは差額利益3万円が確実です。期待する差額利益を最大化するならどちらを選びますか。
数値・条件は学習用の独自例です。公式問題の再現ではありません。
Aの期待利益は0.6×8＋0.4×（−2）＝4万円。Bは3万円なので、この基準ではAです。Aの損失をゼロとして無視すると4.8万円になり、計算が変わります。符号も結果の一部として扱ってください。
正解の理由と、別の目的の場合
「確率60%だからAは必ず成功する」「期待値4万円だから3万円のBより必ず儲かる」は、どちらも誤りです。Aには2万円を失う可能性が40%あります。一度の試行で損失を一切許容できないという条件なら、期待値の大小だけでAを選ぶことはできません。
| 判断の目的 | この例で見るもの |
|---|---|
| 期待利益を最大化 | Aは4万円、Bは3万円 |
| 損失が出る可能性を避ける | Aは40%、Bは0% |
| 資金が足りるか確認 | 各案の事前支出や最大損失が別途必要 |
同じデータでも、目的が変われば選択が変わり得ます。問題がどの基準を指定しているかを先に読み、指定のない自分の好みを正解の理由にしないでください。
独自例題2：費用はどの枝で発生するか
サービスの試行に先立ち3万円が必要です。試行後、70%で売上9万円、30%で売上0円になります。他の費用はありません。ここでは9万円が利益ではなく売上である点に注意して、期待利益を求めてください。
期待売上は0.7×9＋0.3×0＝6.3万円。事前費用3万円は成功でも失敗でも発生するため、期待利益は3.3万円です。各枝を利益へ直して0.7×6＋0.3×（−3）と計算しても同じです。3万円に成功確率だけを掛けると、失敗時の費用を消してしまいます。
情報を得てから選べるなら、価値はどう変わるか
例題1へ戻り、Aの結果が成功か失敗かを、選ぶ前に完全に分かる情報があると仮定します。情報による確率や利益の変化はなく、結果を知った後でAとBを選べるものとします。成功が分かればAの8万円、失敗が分かればBの3万円を選びます。
情報がある場合の期待利益は0.6×8＋0.4×3＝6万円。情報なしで選ぶ最善のAは4万円なので、情報の価値の上限はこの条件で2万円です。6万円全額が情報の価値ではありません。情報が不完全、意思決定後にしか届かない、別途実行費用がかかる場合は同じ結論になりません。
確率の表を足す前に、重なりを点検
結果が互いに重ならず、すべての場合を尽くしていれば、確率の合計は1です。「成功する」と「売上が5万円を超える」のように重なる区分を並べ、それぞれへ確率を掛けて足すと二重計上になる可能性があります。
また、「晴れなら成功確率80%」を全体の成功確率80%と読んではいけません。天候ごとの確率も必要です。条件付きの割合を整理するには条件付き確率を参照してください。確率の見積もり自体が信頼できるかは、計算の正しさとは別の論点です。
確認問題：損失額を逆算する
Aの成功確率が60%、成功時の利益が8万円、失敗時の損失がL万円とします。Bは利益3万円が確実です。期待利益だけで比較して両案が同じになるLはいくらでしょう。Lは損失の大きさなので0以上です。
0.6×8−0.4×L＝3より、0.4L＝1.8、L＝4.5万円です。失敗損失が4.5万円より小さければAの期待利益が高く、大きければBが高くなります。元の例題の2万円ならAが有利で、計算の向きも確かめられます。
「独立」の仮定を勝手に増やさない
期待値を足すだけなら、各項の期待値が分かっていればよく、独立性が必要とは限りません。一方、「二回とも成功する確率」を0.6×0.6と計算するには、その二回の関係を確認する必要があります。同じ故障原因や天候に左右される試行では、単純な独立の仮定が妥当とは限りません。
難しい用語を先に覚えるより、枝の金額、枝へ進む確率、いつ決めるかを順に図へ書いてください。とくに情報を得る前後で選べる行動が違う問題では、平均を先に取るか、条件ごとに最善を選ぶかで答えが変わります。
応用：結果を知ってから選ぶことの違い
天候は晴れと雨がそれぞれ50%とします。会場Xの利益は晴れ10万円・雨0円、会場Yは晴れ4万円・雨6万円。天候を知る前に一会場を選ぶなら、どちらの期待利益も5万円です。天候を知ってから選べるなら、晴れX・雨Yと選んで期待利益は8万円になります。
ここで「各会場の期待値の最大」と「各天候で最善を選んだ後の期待値」は違います。後者は情報を先に得て行動を変えられるという追加条件があるからです。知る時点が予約後で変更不可なら、8万円という計算を使えません。分岐図へ「いつ決めるか」を書く意味がここにあります。
費用の上限を尋ねられたら、比較する基準を固定
上の完全な天候情報に料金を払う場合、期待利益だけで評価する上限は8−5＝3万円です。料金が2万円なら情報利用後の期待利益6万円で、情報なし5万円より1万円高くなります。料金が4万円なら4万円に下がり、情報なしの方が高くなります。
これは完全情報の仮定です。予報が外れる場合には、その精度だけでなく、晴れ・雨ごとの予報の出方と、予報を受けて何を選ぶかを整理し直します。「精度80%なら完全情報価値の80%」と単純に掛ければよいわけではありません。
復習では、答えに条件を添える
「Aの方がよい」ではなく、「期待差額利益を最大化し、設定した確率と金額を採用するならA」と書きます。長い注意書きを暗記するのではなく、結論がどの前提に依存しているかを残すためです。
割合の重みを確認する加重平均、得られた数値から言える範囲を確かめる判断できない場合と合わせて練習できます。
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