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全体像・読み進め方を確認する
三つの条件では、重なりを引くだけでは足りません。100人の独自集計を八つに分け、少なくとも一つ、ちょうど二つ、三つともを検算します。
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最初に全体像をつかみ、必要なところから読めます。
二集合の四領域から、三集合の八領域へ
A・B・Cそれぞれに入るか入らないかを分けると、2×2×2＝8通りになります。三つとも、AとBだけ、AとCだけ、BとCだけ、Aだけ、Bだけ、Cだけ、どれでもない。各人をこのうち一つだけへ置けば、重複せず全体へ戻せます。
本記事は二集合の四領域を学んだ後の発展です。人数の集計を扱い、所属が独立という仮定は置きません。三つの円の見た目の面積から人数を推測せず、重なりを含む数字か、「だけ」の数字かを最初に区別します。以下は実在の調査ではない独自例です。
独自ケース：三種類の研修を受けた100人
全体100人、Aの受講者50人、B40人、C30人。AとBの両方20人、AとC15人、BとC10人、三つとも5人とします。ここで二つの両方の人数には三つとも受講した5人も含まれます。同じ対象・期間で、各研修内の重複はない設定です。
20人
15人
10人
15人
10人
5人
5人
20人
独自の所属表。8領域の合計100人。AB20・AC15・BC10には三つともの5人が含まれます。
三つとも5人を確定した後、AとBだけは20−5＝15人、AとCだけは15−5＝10人、BとCだけは10−5＝5人です。「AとBの両方20人」をAとBだけの場所へ直接書くと、三つとも5人をもう一度数えてしまいます。
一つだけの領域を、元の人数へ戻して計算する
Aだけは50−15−10−5＝20人、Bだけは40−15−5−5＝15人、Cだけは30−10−5−5＝10人です。各研修の合計へ戻して、Aは20＋15＋10＋5＝50、Bは15＋15＋5＋5＝40、Cは10＋10＋5＋5＝30と検算します。
| 条件 | 含める領域 | 人数 |
|---|---|---|
| 少なくとも一つ | どれでもない以外 | 80 |
| ちょうど一つ | Aだけ＋Bだけ＋Cだけ | 45 |
| ちょうど二つ | ABだけ＋ACだけ＋BCだけ | 30 |
| 少なくとも二つ | ちょうど二つ＋三つとも | 35 |
| どれでもない | 全体−少なくとも一つ | 20 |
表を1行ずつ読む
- 条件
- 少なくとも一つ
- 含める領域
- どれでもない以外
- 人数
- 80
- 条件
- ちょうど一つ
- 含める領域
- Aだけ＋Bだけ＋Cだけ
- 人数
- 45
- 条件
- ちょうど二つ
- 含める領域
- ABだけ＋ACだけ＋BCだけ
- 人数
- 30
- 条件
- 少なくとも二つ
- 含める領域
- ちょうど二つ＋三つとも
- 人数
- 35
- 条件
- どれでもない
- 含める領域
- 全体−少なくとも一つ
- 人数
- 20
45＋30＋5＋20＝100です。表は「少なくとも一つ80人」と「少なくとも二つ35人」のように範囲が入れ子になる行を含むので、全行を足して全体にしないでください。互いに重ならない分類の行だけを選んで合計します。
包含排除で、三つともを一回足し戻す理由
少なくとも一つは50＋40＋30−20−15−10＋5＝80人です。最初の三集合の合計では、三つとも受講した人を三回数えています。二集合の重なりを三つ引くとその人は三回引かれ、0回になります。最後に5人を足し戻して一回分だけ残すのが包含排除です。
- 単独の合計：50＋40＋30＝120三つともの人を3回数える
- 二つの重なり：20＋15＋10＝45を引く三つともの人を3回引き、0回になる
- 三つとも5人を足し戻す120−45＋5＝80人。少なくとも一つに所属
三つともを除いた「ちょうど二つ」は45−3×5＝30人。少なくとも二つなら45−2×5＝35人。
二つだけの人は最初に二回足され、一回引かれて一回残ります。一つだけの人は最初から一回で、その後は引かれません。式を丸ごと暗記するより、それぞれの領域の人が何回残るかを確認すると、三集合に増えた際の符号を説明できます。
「ちょうど二つ」は、重なりの合計ではない
20＋15＋10＝45人をそのままちょうど二つとすると、三つとも5人を三回数えています。三つともはちょうど二つに含めないので、45−3×5＝30人です。一方、少なくとも二つなら三つともを一回残すため45−2×5＝35人になります。
「二つの研修を受けた」という曖昧な文は、ちょうど二つなのか三つも含むのかを確認します。選択肢の数字だけで意味を決めないでください。または・どちらか一方で学ぶ範囲の言い換えを、三集合の八領域へ拡張する操作です。
三つともの人数が未知なら、ほかの条件から逆算する
A50・B40・C30と二集合の重なり20・15・10は同じで、三つともをx人と置きます。少なくとも一つは75＋x人。どれでもない20人なら全体100−20＝80人なので、75＋x＝80からx＝5と求められます。式が足りない場合に、三つともを勝手に0へ置かないことが大切です。
どれでもない人数も不明なら、非負の条件から範囲を考えます。BCだけ10−xが非負なのでx≦10、x自体は0以上。Aだけ15＋x、Bだけ10＋x、Cだけ5＋x、どれでもない25−xも確認すると、この設定では0≦x≦10の整数が可能です。条件が不足していれば一意の答えを出しません。
人数のつじつまが合わない資料を検出する
もし三つともが12人と書かれていれば、BとCの両方10人より多くなり、BCだけが−2人になります。同じ対象・定義なら不可能です。集計期間や単位の違い、入力誤りなどを確認する必要があり、負の人数をそのまま図へ配置して計算を続けません。
逆に、三つとも0人でも二つずつの重なりはあり得ます。「どの二つにも重なりがあるから、三つ共通も必ずある」とは言えません。二つの共通部分が別々の人で構成されることがあるからです。独立と排反の条件を追加する場合も、どの事象同士についての条件なのかを明示します。
条件付きの割合へ変える場合は、分母も変える
この100人の中から、Aの受講者50人だけを対象に一人選ぶとします。Bも受けた人数は20なので、Aの中でBも受けた割合は20/50＝40%。そのうちCも受けた人は三つとも5人で、AかつBの20人の中では5/20＝25%です。同じ5人でもAの50人全体に対する割合なら10%です。
八領域を正しく埋めても、求める集団を選ばなければ割合は違います。「全体の5%」と「ABの中の25%」を別の指標として書き、独立であるという追加条件は置かずに人数から割ります。元の100人から等確率で選ぶモデルと、Aの受講者から等確率で選ぶモデルも分けると、同じ所属表から何が言えるかを整理できます。
復習：中央から埋め、三種類の検算をする
まず三つとも、次に二つだけ、最後に一つだけとどれでもないを埋めます。検算は八領域の合計100人、A・B・Cそれぞれの合計、AB・AC・BCそれぞれの重なりの三種類です。少なくとも一つの式が合っただけでは、個別の所属人数を誤っている可能性が残ります。
条件を変える練習では、三つともだけを5から6へ変え、三集合の合計と二集合の合計は固定してみます。八領域はAだけ21・Bだけ16・Cだけ11・ABだけ14・ACだけ9・BCだけ4・三つとも6・どれでもない19で、合計100へ戻ります。どこを固定したかを記録すれば、図の変更が一人分なのに複数の領域へ影響する理由を追えます。
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この記事の図・数値・ケースは編集部独自の学習用です。公式問題や過去問の再現ではなく、出題頻度や合格を保証しません。当サイトは非公式の対策サービスです。
確認資料：MIT：包含排除の原理（2026年10月11日確認）。図解と練習例は当編集部が別途作成しています。
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