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全体像・読み進め方を確認する
方程式が立っても、人数や個数は整数でなければなりません。余り・範囲・偶奇を組み合わせ、答えが一つか、複数か、存在しないかを独自例題で確かめます。
この記事を読む3ステップ
最初に全体像をつかみ、必要なところから読めます。
整数という条件も、情報の一つ
参加者数を計算して7.5人になった場合、四捨五入して8人と答えてよいとは限りません。元の条件が同時に成立していない、式を立て違えた、または個数以外の量を求めた可能性があります。何が整数で、0を含むか、上下限はあるかを最初に確認します。
この記事は一般的な数理的推理の補助練習で、余りがGMAP-CTに必ず出るという案内ではありません。数学的判断推理の条件整理を、短い数値例で練習するためのページです。
独自例題：箱に分けると余りが変わる
部品は20個以上40個以下です。4個ずつ箱に入れると1個余り、6個ずつ入れると5個余ります。箱に入れない余りの部品を含め、部品は全部で何個でしょう。すべての部品は同じ単位で数え、欠損や分割はないものとします。
「4個ずつで1個余る」は、全体が4の倍数より1多いという条件です。余り1を先に引いてから割ると整数になる、と言い換えられます。二つの箱詰めは別々に試すもので、4個箱と6個箱を同時に混ぜて詰める問題ではありません。
範囲で候補を作り、二つ目の条件を重ねる
学習用の独自ケースです。公式問題の再現や、現実の結果を保証する図ではありません。
20〜40のうち4で割って1余るのは21・25・29・33・37です。それぞれを6で割ると余りは3・1・5・3・1。5余るのは29だけなので、答えは29個です。29＝4×7＋1、29＝6×4＋5と戻せば、両方を満たすことを確認できます。
候補が五つ程度なら、難しい記号を導入するより書き出す方が見通せます。ただし「29が条件を満たした」だけで止めず、範囲内の他候補がすべて除かれたことも確認してください。存在の確認と唯一性の確認は別です。
範囲を広げたら、答えは一つでなくなる
上限を60個に変えると、29に加えて41と53も条件を満たします。いずれも4で割ると1余り、6で割ると5余ります。29から12ずつ増やすと二つの余りが保たれるのは、12が4と6の共通の倍数だからです。
最初の答えが29だったからといって、余りだけで29に決まるわけではありません。20〜40という範囲が唯一性を作っていました。条件のどれを使ったかを振り返ると、数字を置き換えられても解法を再利用できます。
成り立たない組合せを、偶奇で見抜く
「4で割ると1余る数」は奇数です。一方「6で割ると2余る数」は偶数です。同じ整数が奇数と偶数の両方にはなれないので、この二条件を同時に満たす数はありません。候補を延々と増やす前に、簡単な性質で矛盾を確認できます。
候補がゼロであることを、追加情報がなく決められない状態と混同しないでください。複数候補なら情報不足、ゼロ候補なら条件の矛盾です。選択肢に「判断できない」があっても、設問がどちらを意味するかを確かめます。
二種類の券の枚数へ応用する
300円の大人券と200円の学生券を合わせて11枚買い、合計が2,700円でした。大人券をx枚とすれば、学生券は11−x枚です。300x＋200（11−x）＝2,700より100x＝500、x＝5。学生券6枚と合わせて代金へ戻すと2,700円です。
同じ11枚で合計2,750円なら、式の解はx＝5.5となり、整数の枚数としては成立しません。小数を丸めると代金が変わります。「割引があったのでは」と設定にない条件を補うのも、この問題の答えにはなりません。
「少なくとも」と「ちょうど」を数字に直す
| 表現 | 整数候補への影響 |
|---|---|
| 20個以上40個以下 | 20と40を含む |
| 20個より多く40個未満 | 21〜39に限定する |
| 少なくとも一個 | 0を除くが、2以上も含む |
| ちょうど一個 | 1だけに決める |
境界の一語で答えが変わることがあります。たとえば条件を満たす数が41と分かった後で、「41未満」を「41以下」と読み替えると、存在しない解を選んでしまいます。範囲を数直線へ書くと、含む端と含まない端を区別できます。
確認問題：三で二余り、五で一余る
10以上40以下の整数で、3で割ると2余り、5で割ると1余る数をすべて求めてください。さらに「偶数」という条件を追加したら何が残りますか。
5で割って1余る候補は11・16・21・26・31・36です。3で割って2余るのは11と26。偶数を追加すると26だけになります。26＝3×8＋2、26＝5×5＋1と検算します。11が先に見つかっても、範囲内の探索を終えないことが重要です。
応用：情報が増えても候補が減らないことがある
元の余りの例題へ「部品の数は奇数」と加えても、4で割って1余る条件からすでに奇数だと分かります。新しい文が増えただけで情報量が増えたとは限りません。20〜60の範囲では、奇数条件を加えても29・41・53の三候補が残ります。
一方「40個以下」を加えれば29だけになります。条件の文章量ではなく、どの候補を除けるかで有効性を評価します。これは複雑な対応表でも同じで、すでに分かっている事実の言い換えは候補を絞りません。
余りの上限も、成立条件として確かめる
正の整数で割る通常の余りは0以上、割る数未満です。「4で割った余りが5」は、この意味では成立しません。余りとして5個残したという現場表現があっても、4個箱をさらに一つ作れるため、通常の割り算の余りは1です。
文章に「箱は最大何個まで」「一箱は必ず満杯にする」といった別の制約がある場合は、その条件も必要です。定義された算術の余りと、任意に詰め残した個数を区別して式を作りましょう。
復習では、候補を落とした理由を残す
正解の数字だけでなく「範囲→一つ目の余り→二つ目の余り→偶奇」のように絞り方を書きます。条件が増えれば必ず一つになるわけではなく、何も減らない冗長な条件や、矛盾する条件もあります。候補の個数がどう変わったかを記録しましょう。
条件を組み合わせる練習は追加情報の十分性、範囲の端を攻める練習は最大・最小へ。次の学習分野はCT総合ガイドで選べます。
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